Cyklisk fyrhörning

En cyklisk fyrhörning (även kallad en cirkelfyrhörning) är en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel.

  • För en cyklisk fyrhörning är summan av två motsatta vinklar 180 grader (en följd av randvinkelsatsen)
  • Om i en fyrhörning summan av två motsatta vinklar är 180 grader är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel
  • Om i en fyrhörning ABCD vinkeln ACD = vinkeln ABD är fyrhörningen inskrivningsbar i en cirkel (det vill säga om vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och den andra diagonalen)
  • En fyrhörning är inskrivningsbar i en cirkel om och endast om sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i samma punkt (cirkelns medelpunkt - sidorna i en inskriven polygon är ju kordor och dessas mittpunktsnormaler går ju såklart genom medelpunkten)

Area

Arean A av en cyklisk fyrhörning med sidorna a, b, c, d ges av Brahmaguptas formel

A = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}

där semiperimetern s är

s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} .

Omskrivna cirkelns radie

Om den cykliska fyrhörningens sidor betecknas a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} och semiperimetern med s {\displaystyle s} är den omskrivna cirkelns radie

R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}

Diagonaler

Enligt Ptolemaios sats är produkten av de två diagonalerna p och q hos en cyklisk fyrhörning lika med summan av produkterna av de motstående sidorna ac och bd:

  p q = a c + b d . {\displaystyle \ pq=ac+bd.}

För en cyklisk fyrhörning med de successiva hörnen A, B, C, D och de successiva sidorna a = AB, b = BC, c = CD, och d = DA och med diagonalerna p = AC och q = BD gäller:

p q = a d + c b a b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}} .

Diagonalernas längder kan uttryckas i sidornas längder som

p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d , {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}},}
q = ( a c + b d ) ( a b + d c ) a d + b c . {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}.}

Vinklar

För en cyklisk fyrhörning med de efter varandra följande sidorna a, b, c, d, semiperimeter s, och vinkeln A mellan sidorna a och d, ges de trigonometriska funktionerna för vinkeln A enligt

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 ( a d + b c ) {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}}
sin ⁡ A = 2 ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) ( a d + b c ) {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}}}
tan ⁡ A 2 = ( s − a ) ( s − d ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}}

För vinkeln θ {\displaystyle \theta } mellan diagonalerna gäller

tan ⁡ θ 2 = ( s − b ) ( s − d ) ( s − a ) ( s − c ) {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}}

Se även