Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, Jf,
, dan
. Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.[1]
Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi f di setiap titik f terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik x, matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar x. Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau turunan total dari f di x. Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari f. Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.
Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika
, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris
. Vektor ini adalah transpos dari gradien f, sehingga
. Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, f : R → R, matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi f.
Matriks Jacobi
Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan
adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di
. Fungsi ini memetakan titik
di
dengan vektor
di
. Matriks Jacobi
dari fungsi
didefinisikan sebagai matriks berukuran
adalah matriks yang elemen ke-(i,j)-nya adalah
, atau secara eksplisit,
![{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdf32c9044881c754b53dac564693fd0dc473c1)
Simbol
menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke-
. Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Tetapi fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.
Untuk setiap titik
dimana fungsi
terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika
digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi
menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik
berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh
adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi
di sekitar
, dalam artian
![{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{dengan }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41eea1f394f5449abc573d55979ab54b85ecd8a)
dengan
adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara
dan
ketika
bergerak menuju
. Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni
.
Akibatnya, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai "turunan pertama" dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Pada kasus fungsi multivariabel bernilai skalar, matriks Jacobi dari gradien fungsi tersebut dikenal sebagai matriks Hesse; matriks ini dapat dianggap sebagai "turunan kedua" dari fungsi, sedangkan gradien dianggap sebagai "turunan pertama".
Komposisi dua fungsi yang terdiferensialkan, misalnya
dan
, memenuhi sifat aturan rantai. Dalam hal ini,
untuk titik
di
.
Determinan Jacobi
Fungsi
memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan determinan Jacobi, determinan Jacobian, atau Jacobian. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi
di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik
, jika determinan Jacobi di
tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di
bernilai positif, maka fungsi
akan mempertahankan orientasi di sekitar
. Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi
membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di
memberikan besaran perubahan volume di sekitar
akibat pemetaan oleh
; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.
Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (disease modelling).[2]
Contoh
Contoh 1
Misalkan sebuah fungsi
yang memetakan
lewat persamaan
![{\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80d8ccea9a5432ed715445b9811a254c908e747)
Fungsi-fungsi komponen dari
adalah
dan
, sehingga matriks Jacobi dari
adalah
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe3958d277972f8ea78a75384d7d4c1ceceb185)
dan determinan Jacobi dari fungsi adalah
![{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bba3d4500ce73ea7d22f41de00a2b9f8c42feb)
Contoh 2
Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi
dengan komponen-komponen
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5c36aa27e5f3201cca663de09cb36d7bda76cd)
adalah
Contoh 3
Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar
ke koordinat Kartesius
dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi
dengan komponen
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5fa293512a8cad2c95e79b01ad44f7977ec913)
Matriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f070cf16746e85af8ccc976cdfa318b7d29212)
dan determinannya sama dengan
. Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral:
![{\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e637ca98c9b075c29719bf8f0e3fffdf49cc5dd)
Contoh 4
Contoh ini meninjau efek perubahan orientasi fungsi dan hubungannya dengan determinan Jacobi. Determinan Jacobi dari fungsi
dengan komponen-komponen
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e24f51b66630fbbfbb552ab97bf06a89d90a354)
adalah
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d29458d16a2c7106804089e2aebe0beba7f1f4d)
Dari determinan ini terlihat bahwa
membalikkan orientasi pada titik-titik dengan tanda
dan
yang sama. Fungsi juga dapat diinvers secara lokal, kecuali pada titik-titik dengan
atau
. Secara intuitif, jika
diterapkan pada suatu objek kecil berdimensi tiga di titik
, orientasi objek tersebut akan terbalik, dan volume objek tersebut akan mengembang kurang lebih
kali volume semula.
Referensi
- ^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 3 November 2017. Diakses tanggal 2 May 2018. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - ^ Smith? RJ (2015). "The Joys of the Jacobian". Chalkdust. 2: 10–17.
Bacaan lebih lanjut
- Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (edisi ke-3). Berlin: Springer. hlm. 305–330. ISBN 3-540-60988-1. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (edisi ke-Second). New York: Springer. hlm. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Pranala luar
- Mathworld Penjelasan lebih teknis mengenai matriks dan determinan Jacobi