Théorie du contrôle

En mathématiques et en sciences de l'ingénieur, la théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de systèmes dynamiques à partir de leur représentation mathématique, paramétrée par des entrées sur lesquelles on peut agir^[1],[2]. Elle peut être vue comme une branche de l'analyse et de l'optimisation, notamment appliquée à l'automatique, et spécialisée dans l'élaboration de contrôleurs délivrant des lois de commande aux systèmes dynamiques, en boucle ouverte ou en boucle fermée^[1],[2]. Elle inclus également la conception d'observateurs, utiles à l'estimation de quantités physiques qui ne sont pas directement mesurables^[3].

Le cadre classique

Introduction au cadre classique

On se place dans un ensemble, l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ d'un système (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{x}}}$), sur lequel on définit une dynamique, c'est-à-dire une loi mathématiques qui depuis n'importe quel état initial ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {X}}}$, fournit une trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ appartenant à l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. Lorsque ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est plongé dans un espace de dimension finie, les coordonnées de ${\displaystyle x}$ sont appelées variables d'état.

La trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ est fonction du temps ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$, et dépendante des valeurs de paramètres d'entrée :

• Le paramètre de contrôle, noté ${\displaystyle u}$, appelé également paramètre de commande, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans un espace des contrôles ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{u}}}$). En pratique, le paramètre de contrôle correspond généralement aux signaux délivrés au système par le biais d'actionneurs.
• Le paramètre d'entrée exogène, noté ${\displaystyle w}$, appelé également paramètre de perturbation, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {W}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{w}}}$). Contrairement à l'entrée ${\displaystyle u}$ sur laquelle on peut agir, l'entrée ${\displaystyle w}$ est subie par le système. Elle correspond aux perturbations et aux consignes du système, et elle est rarement considérée dans la plupart des problèmes. Elle est mentionnée ici par souci d'exhaustivité.

Si le déroulement du temps est modélisé par un entier positif (${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {N} }$), le système est alors dit temps-discret (le temps ne prend que des valeurs entières). L'état du système ${\displaystyle x}$ ne dépend généralement que de l'état du système et des paramètres d'entrée à l'instant précédent. La dynamique du système est alors donnée par une suite définie par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {U}}\times {\mathcal {W}}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {X}}}$ ; elle s'écrit :

${\displaystyle x(t+1)=f(x(t),u(t),w(t),t)}$

Si le déroulement du temps est modélisé par un réel positif (${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} _{\geq 0}}$), le système est alors dit temps-continu (le temps s'écoule continument). Dans ce cas, la dynamique du système est généralement donnée par une équation différentielle ordinaire ; elle s'écrit :

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f{\bigl (}x(t),u(t),w(t),t{\bigr )}}$

Dans ce contexte ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ est la dérivée temporelle de ${\displaystyle x}$ à l'instant ${\displaystyle t}$, et il peut alors être nécessaire de vérifier l'existence et l'unicité de la trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$.

En pratique, on ne s'intéresse pas systématiquement à l'évolution de toutes les variables d'état, mais parfois uniquement à certaines quantités dites de sortie. Ces quantités d'intérêt, notées ${\displaystyle y}$, sont à valeur dans un espace des sorties ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{y}}}$). Elles sont définies par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle h:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {U}}\times {\mathcal {W}}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {Y}}}$ :

${\displaystyle y(t)=h{\bigl (}x(t),u(t),w(t),t{\bigr )}}$

Bien que cette distinction soit rarement faite en pratique, il est quelques fois nécessaire de distinguer les sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$ des sorties contrôlées ${\displaystyle y_{c}}$^[4] :

• Les sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$ sont des quantités supposées connues en temps-réel, et qui peuvent notamment être utilisées pour synthétiser un contrôle ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$. En pratique, il s'agit généralement de données mesurées au sein du système par le biais de capteurs.
• Les sorties contrôlées ${\displaystyle y_{c}}$ sont les quantités dont on souhaite manipuler l'évolution par le biais d'un contrôle ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$.

Ces deux types de sorties ne sont pas systématiquement confondus. On peut tout à fait vouloir contrôler une quantité qu'on sait mesurer (sortie contrôlée et mesurée) ou qu'on ne sait pas mesurer (sortie contrôlée et non mesurée). On peut également mesurer une quantité dont on ne cherche pas particulièrement à contrôler l'évolution (sortie mesurée et non contrôlée).

Problématiques

La question principale de la théorie du contrôle est: quel est le comportement des sorties contrôlées ${\displaystyle y_{c}}$ en fonction de celui du contrôle ${\displaystyle u}$ ? Plus spécifiquement, en l'absence de perturbation, on peut lister plusieurs grandes problématiques:

• La commandabilité (ou contrôlabilité^[5]) : peut-on choisir ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ de telle sorte que la trajectoire ${\displaystyle (y_{c}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ atteigne la sortie ${\displaystyle y_{c}^{*}\in {\mathcal {Y}}}$, une valeur cible choisie par ailleurs ? Elle est parfois confondue avec l'accessibilité, bien que les deux notions ne coïncident pas systématiquement^[6].
• La stabilisabilité : peut-on choisir ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ de telle sorte que la trajectoire ${\displaystyle (y_{c}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ se stabilise asymptotiquement en ${\displaystyle y_{c}^{*}\in {\mathcal {Y}}}$, une valeur de consigne choisie par ailleurs ? On parle alors de problème de régulation^[7],[8].
• La poursuite de trajectoire : peut-on choisir ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ de telle sorte que la trajectoire ${\displaystyle (y_{c}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ se stabilise asymptotiquement le long d'une trajectoire de consigne ${\displaystyle (y_{c}^{*}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ choisie par ailleurs ? On parle alors de problème d'asservissement^[9].

Le terme de régulation est généralement réservé à la synthèse de commandes possédant des mécanismes de compensation des perturbations^{[9],[10],[11]}. D'autres sources utilisent le terme d'asservissement sans imposer de stabilisation le long de la trajectoire de consigne^[8],[12]. Il est à noter que les problèmes de régulation sont parfois vus comme des cas particuliers des problèmes d'asservissement, puisqu'il s'agit d'asservir le système le long d'une trajectoire de consigne constante^[8].

Lorsque la loi de commande ne dépend pas des sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$, on parle de contrôle en boucle ouverte. Inversement, lorsque la loi de commande est mise à jour en temps-réel en fonction des sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$, on parle de contrôle en boucle fermée. De manière générale, les problèmes de stabilisation (le long d'une consigne constante ou non) nécessitent un contrôle en boucle fermée.

Les lois de commande ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ répondant aux problématiques listées ci-avant peuvent être choisies de manière à minimiser certains critères. On parle alors de problème de contrôle optimal. Par exemple, trouver une loi de commande permettant de passer d'une valeur de sortie ${\displaystyle y_{c}^{1}}$ à une valeur de sortie ${\displaystyle y_{c}^{2}}$ en un temps minimal est appelé un problème de contrôle temps-optimal^[13].

Une autre problématique de la théorie du contrôle est celle de l'estimation des variables d'état : peut-on, à partir de la connaissance des entrées ${\displaystyle (u(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ et des sorties mesurées ${\displaystyle (y_{m}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ du système, estimer une trajectoire ${\displaystyle ({\hat {x}}(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ proche de la trajectoire réelle de l'état du système ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ ? On parle alors de problème d'observation^[3].

Lorsque la loi de commande ${\displaystyle u}$ est elle-même synthétisée en fonction d'un état estimé ${\displaystyle {\hat {x}}}$, on dit que la loi de commande ${\displaystyle u}$ est basée observateur^[14].

Représentation d'état

Cas général

En toute généralité, la théorie du contrôle s'intéresse donc aux systèmes dynamiques de la forme :

${\displaystyle {\begin{cases}\delta x(t)&=&f(x(t),u(t),w(t),t)\\y_{c}(t)&=&h_{c}(x(t),u(t),w(t),t)\\y_{m}(t)&=&h_{m}(x(t),u(t),w(t),t)\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \delta x(t)}$ dénote ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ ou ${\displaystyle x(t+1)}$ suivant le contexte temps-continu ou temps-discret. Les équations ci-dessus forment la représentation d'état du système. Il arrive que la sortie contrôlée ${\displaystyle y_{c}}$ soit remplacée par une variable ${\displaystyle e}$, définie comme l'écart entre ${\displaystyle y_{c}}$ et la consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$. La consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$ est alors intégrée aux entrées exogènes ${\displaystyle w}$. Le problème d'asservissement (ou de régulation) revient finalement à stabiliser ${\displaystyle e}$ en ${\displaystyle 0}$, et la deuxième équation de la représentation d'état devient :

${\displaystyle e(t)=g(x(t),u(t),w(t),t)}$

Cas linéaire temps-invariant (LTI)

Lorsque les variables du systèmes sont de dimension finie et que les fonctions ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h_{m}}$ sont temps-invariant et linéaires en ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle w}$ (éventuellement après les avoir linéarisées autour d'un point de fonctionnement), on aboutit au système linéaire temps-invariant (LTI) suivant :

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\delta x(t)\\e(t)\\y_{m}(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}A&B_{w}&B_{u}\\C_{e}&D_{ew}&D_{eu}\\C_{y}&D_{yw}&D_{yu}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x(t)\\w(t)\\u(t)\end{array}}\right)}$

Ce système LTI peut se ré-écrire dans le domaine fréquentiel, par le biais d'une transformation de Laplace dans le cas temps-continu et par le biais d'une transformation en Z dans le cas temps-discret, sous la forme :

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(p)\\Y_{m}(p)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}P_{ew}(p)&P_{eu}(p)\\P_{yw}(p)&P_{yu}(p)\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}W(p)\\U(p)\end{array}}\right)}$

avec ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle Y_{m}}$ les représentations fréquentielles des signaux ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle y_{m}}$ ; et les ${\displaystyle P_{i,j}}$ des matrices de transfert donnée par :

${\displaystyle {\begin{cases}P_{ew}(p)&=&C_{e}(pI_{n_{x}}-A)^{-1}B_{w}+D_{ew}\\P_{eu}(p)&=&C_{e}(pI_{n_{x}}-A)^{-1}B_{u}+D_{eu}\\P_{yw}(p)&=&C_{y}(pI_{n_{x}}-A)^{-1}B_{w}+D_{yw}\\P_{yu}(p)&=&C_{y}(pI_{n_{x}}-A)^{-1}B_{u}+D_{yu}\end{cases}}}$

Sous-domaines notables

Contrôle des systèmes multi-agents (SMA)

La théorie du contrôle peut être appliquée aux systèmes multi-agents^[15]. Dans ce cas, chaque agent est généralement considéré comme un système dynamique à part entière avec, pour le ${\displaystyle i}$-ème agent : ses propres entrées ${\displaystyle u_{i}}$, son propre état interne ${\displaystyle x_{i}}$ et ses propres sorties ${\displaystyle y_{i}}$. Lorsque les agents sont de nature identique, on peut supposer qu'ils partagent le même espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, le même espace des contrôles ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, le même espace des sorties ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$, le même modèle de dynamique ${\displaystyle f}$ ainsi que la même fonction de sortie ${\displaystyle h}$. On a alors pour chaque agent :

${\displaystyle {\begin{cases}\delta x_{i}(t)&=&f(x_{i}(t),u_{i}(t),t)\\y_{i}(t)&=&h(x_{i}(t),u_{i}(t),t)\end{cases}}}$

Dans le cadre d'un protocole de contrôle distribué, il est admis que les agents communiquent entre eux par le biais d'un réseau de communication, généralement modélisé par un graphe orienté ${\displaystyle G=(V,E)}$, alors appelé graphe de communication. Dans ce graphe, chaque nœud ${\displaystyle i\in V}$ représente un agent, et chaque arc ${\displaystyle (j,i)\in E}$ représente un canal de communication des sorties ${\displaystyle y_{j}}$ du ${\displaystyle j}$-ème agent vers les entrées ${\displaystyle u_{i}}$ du ${\displaystyle i}$-ème agent. La loi de commande ${\displaystyle u_{i}}$ du ${\displaystyle i}$-ème agent ne peut alors être synthétisée qu'à partir de sa propre sortie ${\displaystyle y_{i}}$, ainsi que des sorties des agents ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-}(i)=\{j_{1},\dots ,j_{p}\}}$ pour lesquels il existe un arc de la forme ${\displaystyle (j,i)\in E}$. Cette synthèse peut, par exemple, s'effectuer par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle g_{i}:{\mathcal {Y}}^{p+1}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {U}}}$ :

${\displaystyle u_{i}(t)=g_{i}(y_{i}(t),y_{j_{1}}(t),\dots ,y_{j_{p}}(t),t)}$

De nouvelles questions propres au caractère collectif des systèmes multi-agents s'ajoutent alors aux problématiques habituelles du contrôle, notamment concernant l'auto-organisation de l'ensemble des agents en formation, la stabilisation autour de valeurs de consensus, l’évitement de collisions, l'éventuelle mise-à-jour de la topologie du graphe de communication, etc^[16],[15].

Contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP)

Si l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est un espace fonctionnel, alors à chaque instant, l'état ${\displaystyle x}$ est une fonction d'un paramètre ${\displaystyle s\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n_{s}}}$. On notera ${\displaystyle x(t,s)\in \mathbb {R} ^{n_{x}}}$ par simplicité, avec à chaque instant ${\displaystyle x(t,\cdot ):\Omega \mapsto \mathbb {R} ^{n_{x}}}$ un élément de ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. La fonction ${\displaystyle f}$ de la représentation d'état du cadre classique joue alors le rôle d'un opérateur, et cette représentation d'état peut devenir un système d'équations aux dérivées partielles^[17],[18].

Considérons par exemple l'équation de la chaleur le long d'une barre à une dimension. La distribution de chaleur ${\displaystyle x(t,\cdot )}$ à un instant ${\displaystyle t}$ est fournie sur le segment ${\displaystyle \Omega =[0,L]}$ et est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (soit ${\displaystyle n_{x}=1}$). La dynamique de cette distribution lorsque l'on contrôle la température aux bords ${\displaystyle \partial \Omega =\{0,L\}}$ est fournie pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{>0}}$ par :

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}x(t,s)=\partial _{ss}x(t,s)&\forall s\in ]0,L[\\x(t,s)=u_{s}(t)&\forall s\in \{0,L\}\end{cases}}}$

La condition initiale du système est alors donnée par ${\displaystyle x(0,s)=x_{0}(s)}$ pour tout ${\displaystyle s\in [0,L]}$ et la commande s'applique par le biais des contraintes aux bords ${\displaystyle u_{0}}$ et ${\displaystyle u_{L}}$. Étant donné une condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$, on peut alors, par exemple, se demander quelles sont les distributions de chaleur ${\displaystyle x(T,\cdot )}$ commandables à un instant ${\displaystyle T}$^[19].

Contrôle stochastique

Il est également possible d'appliquer la théorie du contrôle aux processus stochastiques^[20]. Dans ce cas, l'état ${\displaystyle X_{t}}$ est à chaque instant une variable aléatoire. La dynamique temps-continu de ${\displaystyle X_{t}}$ est alors donnée par le processus d'Itô suivant, décrit ici sous la forme d'une équation différentielle stochastique (EDS) :

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},u(t))\,dt+\sigma (X_{t},u(t))\,dB_{t}}$

où ${\displaystyle B_{t}}$ représente un mouvement brownien. Dans ce genre de cadre, on chercher généralement un contrôle ${\displaystyle u}$ de façon à maximiser l'espérance d'un critère fonction de ${\displaystyle X_{t}}$.

Exemples d'application

• La stabilisation à la verticale d'un pendule inversé^[21].
• L'estimation du niveau de charge d'une batterie lithium-ion^[22].
• L'interception d'un missile balistique par un missile antibalistique^[23].
• Le pilotage d'un essaim de drones^[24].
• La poursuite d'une orbite géostationnaire par un satellite de télécommunications^[25].
• La régulation du nombre de malades lors d'une pandémie^[26].
• La modélisation et la prévention des crises d'épilepsie^[27].
• Le maintien du bon fonctionnement des réseaux de distributions d'eau^[28], de gaz^[29], d'électricité^[30].
• Le pilotage de la transition écologique d'un système économique^[31].
• Le management du portefeuille d'un fonds d'investissement^[20].

Références

Voir aussi

Bibliographie

Livres en français

• Frédéric Bonnans, Pierre Rouchon, Commande et optimisation de systemes dynamiques, Editions Ecole Polytechnique, 2005, 280 p. (ISBN 978-2-7302-1251-9)
• Nicole Berline, Claude Sabbah, Aspects de la théorie du contrôle, Editions Ecole Polytechnique, 2008, 188 p. (ISBN 978-2-7302-1530-5)
• Emmanuel Trélat, Contrôle optimal - Théorie et applications, Vuibert, 2008, 250 p. (ISBN 978-2-7117-2219-8)
• Laurent Praly, Delphine Bresch-Pietri, Fonctions de Lyapunov : stabilité, Spartacus-Idh, 2022, 396 p. (ISBN 978-2-36693-116-7, lire en ligne)
• Laurent Praly, Delphine Bresch-Pietri, Fonctions de Lyapunov : stabilisation, Spartacus-Idh, 2022, 492 p. (ISBN 978-2-36693-118-1, lire en ligne)
• Huyên Pham, Optimisation et contrôle stochastique appliqués à la finance, Springer, 2007, 204 p. (ISBN 978-3540737360, lire en ligne)

Livres en anglais

• (en) Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, Pearson, 1991, 768 p. (ISBN 978-0130673893)
• (en) Mathukumalli Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, 1978, 498 p. (ISBN 978-0-89871-526-2)
• (en) Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1994, 193 p. (ISBN 978-0-89871-485-2, lire en ligne)
• (en) Frank L. Lewis , Hongwei Zhang , Kristian Hengster-Movric , Abhijit Das, Cooperative Control of Multi-Agent Systems: Optimal and Adaptive Design Approaches, Springer London, 2013 (ISBN 978-1-4471-5574-4, lire en ligne)
• (en) Fredi Tröltzsch, Optimal control of partial differential equations: theory, methods and applications, American Mathematical Society, 2010, 399 p. (ISBN 978-0821849040)

Liens externes

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