Función de Euler

En matemática, particularmente en teoría de números, la función de Euler está definida por

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}).}$

Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q-series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo.

Propiedades

Los coeficientes p(k) en la serie de Maclaurin para 1/Φ(q) da el número de todas las particiones de k. Esto es,

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

donde p(k) es la función de partición de k.

El teorema del número pentagonal, descubierto también por Leonhard Euler, está relacionado con la función de Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

Nótese que (3n²-n)/2 es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind, mediante la identidad descubierta por Ramanujan:

${\displaystyle \phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )\,\!}$

donde ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\,}$.

Nótese que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9.