Riemannova věta

Je-li reálná řada $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému $S\in \mathbb {R}$ existuje přerovnání $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ takové, že $\sum _{n=1}^{\infty }a_{\phi (n)}=S$ . Rovněž existuje oscilující přerovnání $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ této řady.

Důkaz

Nejprve si uvědomme, že platí $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{+}=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{-}=\infty$ , kde $a_{i}^{+}$ značí kladnou část čísla $a_{i}$ , tedy $a_{i}^{+}=\max(a_{i},0)$ , $a_{i}^{-}$ značí zápornou část tohoto čísla: $a_{i}^{-}=\max(-a_{i},0)$ . Je tedy $a_{i}=a_{i}^{+}-a_{i}^{-}$ a $|a_{i}|=a_{i}^{+}+a_{i}^{-}$ . To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
Je-li $S<0$ , pak přeskočím následující krok.
Najdu takové přirozené číslo $n$ , pro které platí $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{+}>S$ . Tento součet označím $T_{1}$ . Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu $n$ .
Nyní najdu další přirozené číslo $m$ takové, aby $\sum _{i=1}^{m}a_{i}^{-}+T_{1}<S$ . Tento součet označím $T_{2}$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty $T_{1}$ a $T_{2}$ postupně blížit k požadovanému $S$ .

Související články

Řada

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
Derbyshire John : Posedlost prvočísly. Galileo, Praha, 2007, 1. vydání. ISBN 978-80-200-1479-5
Křížek Michal, Sommer Lawrence, Šolcová Alena : Kouzlo čísel. Galileo, Praha, 2011, 2. vydání. ISBN 978-80-200-1996-7