Arkus kosekans

Grafy funkcí arkus sekans a arkus kosekans

Arkus kosekans (psáno také jako arkuskosekans) je cyklometrická funkce. Značí se arccsc ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arccsc} x} .

Definice

Funkce y = arccsc ⁡ x {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x} je inverzní k funkci x = csc ⁡ y ( − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 ) {\displaystyle x=\csc y\;\left(-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\right)} ; je definována pro x ∈ ( − ∞ , − 1 ⟩ ∪ ⟨ 1 , + ∞ ) {\displaystyle x\in \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)} .

Vlastnosti

Značení: y = arccsc ⁡ x {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\;\;} ( resp. a r c c o s e c ⁡ x , csc − 1 ⁡ x ) {\displaystyle \qquad \left(\;{\mbox{resp.}}\quad \operatorname {arccosec\,} x,\quad \csc ^{-1}x\;\right)} [1]
Definiční obor ( − ∞ , − 1 ⟩ ∪ ⟨ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty \right)}
Obor hodnot ⟨ − π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right\rangle }
Omezenost Je omezená
Monotonie Je ryze klesající na intervalu ( − ∞ , − 1 ⟩ {\displaystyle \left(-\infty ,-1\right\rangle }
Je ryze klesající na intervalu ⟨ 1 , + ∞ ) {\displaystyle \left\langle 1,+\infty \right)}
Není ryze klesající na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie Je lichá, není sudá
Periodicita Není periodická
Limity lim x → ± ∞ arccsc ⁡ x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\operatorname {arccsc} x=0}
Inverzní funkce x = csc ⁡ y {\displaystyle x=\csc y}   (kosekans)
Derivace d d x arccsc ⁡ x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Integrál ∫ arccsc ⁡ x d x = x arccsc ⁡ x + x | x | ln ⁡ | x + x 2 − 1 | + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {arccsc} x+{\frac {x}{|x|}}\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}
Taylorova řada arccsc ⁡ x = x − 1 + 1 3 x − 3 + 3 40 x − 5 + 5 112 x − 7 + … {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {3}{40}}x^{-5}+{\frac {5}{112}}x^{-7}+\dots \qquad } v okolí nekonečna
Významné hodnoty x − 2 − 2 − 2 3 − 1 1 2 3 2 2 arccsc ⁡ x − π 6 − π 4 − π 3 − π 2 π 2 π 3 π 4 π 6 {\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&-2&-{\sqrt {2}}&-{\frac {2}{\sqrt {3}}}&-1&1&{\frac {2}{\sqrt {3}}}&{\sqrt {2}}&2\\\hline \operatorname {arccsc} x&-{\frac {\pi }{6}}&-{\frac {\pi }{4}}&-{\frac {\pi }{3}}&-{\frac {\pi }{2}}&{\frac {\pi }{2}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{6}}\end{array}}}

Vzorce

arcsec ⁡ x + arccsc ⁡ x = π 2 arccsc ⁡ x + arccsc ⁡ ( − x ) = 0 arccsc ⁡ x + arccsc ⁡ y = arccsc ⁡ ( x y x 1 − 1 x 2 + y 1 − 1 y 2 ) arccsc ⁡ x − arccsc ⁡ y = arccsc ⁡ ( x y y 1 − 1 y 2 − x 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{lcll}\operatorname {arcsec} x+\operatorname {arccsc} x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {arccsc} x+\operatorname {arccsc}(-x)&=&0\\\operatorname {arccsc} x+\operatorname {arccsc} y&=&\operatorname {arccsc} \left({\frac {xy}{x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\,+\,y\,{\sqrt {1-{\frac {1}{y^{2}}}}}}}\right)\\\operatorname {arccsc} x-\operatorname {arccsc} y&=&\operatorname {arccsc} \left({\frac {xy}{y\,{\sqrt {1-{\frac {1}{y^{2}}}}}\,-\,x\,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\right)\\\end{array}}}


arccsc ⁡ x = arcsin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
arccsc ⁡ x = ∫ x + ∞ d t t t 2 − 1 , x ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=\int _{x}^{+\infty }{\frac {{\mathrm {d} }t}{t\,{\sqrt {t^{2}-1}}}},\quad x\geq 1}


arccsc ⁡ x = 1 − 1 x 2 x − 2 x 3 x 2 − 2 x 2 5 x 2 − 12 x 2 7 x 2 − 12 x 2 9 x 2 − … , | x | > 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}{x-\displaystyle {\frac {2x}{3x^{2}-\displaystyle {\frac {2x^{2}}{5x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{7x^{2}-\displaystyle {\frac {12x^{2}}{9x^{2}-\dots }}}}}}}}}},\quad |x|>1}


Graf

Graf funkce arkuskosekans
Graf funkce arkuskosekans

Odkazy

Reference

  1. ↑ WolframAlpha: arccsc x

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu arkus kosekans na Wikimedia Commons
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.