Funció d'Euler

En matemàtiques, la funció d'Euler ve donada per

ϕ ( q ) = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}

Fou anomenada en honor de Leonhard Euler, i és un exemple prototípic de sèries q, una forma modular, i proveeix l'exemple prototípic d'una relació entre combinatòria i anàlisi complexa.

Propietats

El coeficient p ( k ) {\displaystyle p(k)} en l'expansió de sèrie de potències formals per 1 / ϕ ( q ) {\displaystyle 1/\phi (q)} dona el nombre de totes les particions de k. Això és

1 ϕ ( q ) = ∑ k = 0 ∞ p ( k ) q k {\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}

on p ( k ) {\displaystyle p(k)} és la funció de partició de k.

La identitat d'Euler és

ϕ ( q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( 3 n 2 − n ) / 2 {\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}}

Cal notar que ( 3 n 2 − n ) / 2 {\displaystyle (3n^{2}-n)/2} és un nombre pentagonal.

La funció d'Euler està relacionada amb la funció Dedekind eta mitjançant una identitat de Ramanujan:

ϕ ( q ) = q − 1 24 η ( τ ) {\displaystyle \phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )}

on q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} és el quadrat del nome.

Referències

  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9